측지선에 대한 이야기를 이어가 보겠습니다.
정확히는 계량텐서라고 하는데, 여기에서는 간단히 거리 텐서, 길이 텐서라고 부르려고 하는 개념을 소개하도록 하죠.
공간이 휘어진 정확히 그 방향으로 휘어져 있는 선이 측지선, 한 마디로 그 공간에서의 직선이다라는 이야기를 했었죠?
오늘 영상에서는 다른 관점에서 측지선 이야기를 해 보겠습니다. 거리를 가장 짧게 하는 지름길이라는 관점입니다. 우선은 거리란 어떻게 측정할 지가 정해져야 하겠죠? 거리 자체의 뜻을 정해보자는 이야기는 아니고요, 두 지점이 주어졌을 때 그 둘 사이의 거리는 얼마다라는 약속을 먼저 하고 시작하자는 주장입니다.
동어반복이지만 해결법이 있습니다. 먼저 한 점 주변의 아주 가까운 지점들을 생각합니다. 예를 들면 곡면이라면 접평면을 생각합니다. 그리고 그 접평면에서는 유클리드 공간처럼 생각합니다.
접평면 상에서의 두 점 사이의 거리가 유클리드 공간과 똑같다는 뜻은 아닌데요, 다를 수 있습니다. 간단히 말하자면 이렇습니다. 먼저 기준이 되는 방향들이 있겠죠? 그 기준이 되는 방향들에 놓인 선분의 길이를 정합니다. 비스듬히 놓인 선분들의 길이를 정할 수 있어야겠죠? 이제 각각의 서로 다른 방향 사이에서 길이에 대한 서로의 기여도를 찾아냅니다. 일종의 가중치를 정하구요, 임의의 방향에 대해서는 평행사변형의 성질을 써서 그 길이를 구하도록 합니다. 정확히는 선형성이라고 하는 성질이네요.
이제 어떤 하나의 선이 있을 때 그 선 위의 점들에서 접평면을 차례로 그려가면서 그 길이들을 구해갑니다. 미분하고 적분하자는 이야기죠.
바로 이 거리에 대한 정보를 저장하고 있는 수학적 실체가 계량텐서, 오늘 영상에서 거리 텐서, 길이텐서라고 부를 대상입니다.
정리해 볼까요? 먼저 기하적 대상이 있습니다. 단순한 점의 집합을 넘어서기 위해서 좌표를 줍니다. 그리고 각각의 좌표점 마다 바로 이웃한 주변 지점으로 이동할 때 어떻게 거리를 계산하는지를 조사합니다. 이렇게 주어진 기하학적 대상, 기하학적 공간 위의 한 점, 한 점마다 거리를 계산할 수 있는 방식을 줍니다.
그래서 두 점을 잇는 하나의 선이 있을 때 이 선을 따라가면서 그 길이를 구해볼 수 있습니다. 그리고 그렇게 구한 길이 중에서 가장 짧은 길이를 갖는 선이 바로 측지선, 그 공간에서의 직선입니다.
측지선을 정의하는 새로운 방식인데요, 이전 영상에서의 개념과는 어떻게 연관될까요? 측지선을 정의하는 또 다른 방식이 있을까요?
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거리 텐서를 직접 구해보겠습니다. 잘 알고 있는 유클리드 공간에서부터 시작하죠. 한 마디로 피타고라스 정리가 성립하는 공간입니다. 이를 이용하여 거리를 쉽게 계산할 수 있죠?
그런데 새로운 생각을 할 수도 있죠? 우리가 살고 있는 또는 쉽게 상상하는 유클리드 공간에서처럼 거리를 설정하지 않고 새로운 방식으로 거리를 계산하도록 설정하자는 이야기입니다.
거리 텐서가 어떠냐에 따라서 전혀 다른 공간이 될 수도 있는 거군요. 겉보기에는 똑같아 보이더라도 말이죠.
다음 영상들을 위해서 텐서개념을 간단히 소개하도록 하겠습니다.
텐서란? 텐서를 정의하는데 핵심적인 개념이 있습니다.
다중선형성과 좌표불변성.
하지만 여기에서는 텐서 개념의 필요성…. 정도만을
그래서 왜 계량 텐서라는 이름이 등장했는지를 말하자.
예시1 – 응력 = 물체의 단위 면적당 힘의 분포,
변형률 = 물체가 어떻게 변형되는지
이러한 물리량들은 방향성을 갖지만, 단일한 벡터로는 그 특성을 완전히 기술할 수 없습니다. 왜냐하면 이들은 여러 방향으로의 힘과 변형을 동시에 고려해야 하기 때문입니다.
예시2 – 인공지능에서의 자료형태.
어떤 판단을 하기 위해서는 특정 성분들이 보다 가중치가 주어져야 하고, 다른 판단을 하기 위해서는 또 다른 성분들이 또 다른 가중치로써 계산되어져야 하지.
거리, 길이를 나타내는 텐서에서 핵심은 선형성입니다. 미분이 선형적이기 때문인데, 결국 접평면이나 접공간에서 본다면 아주 짧은 길이의 계산은 선형적, 즉 일차함수적이며 평행사변형을 활용할 수 있는 방식으로 이루어진다는 뜻입니다.
텐서는 결국 선형성을 갖는 무언가의 실체가 있는데 정확히는 그 실체를 말하는 거야. 그 실체는 대수적인 대상으로써 함수일 수도 있고, 기하적인 대상으로써 벡터일 수도 있고, 거리를 나타내는 거리 요소들 일 수도 있어. 그것을 수식적으로 표현해 보니 수의 일차원적 나열인 벡터의 모습일 수도 있고, 2차원적인 행렬의 모양, 더 나아가서 다차원적인 행렬의 행렬, 행렬의 행렬의 행렬일 수도 있는 거지. 그런데 사실 이런 표현들은 단지 하나의 표현일 뿐이야. 다른 기준, 다른 좌표계를 써서 표현하였을 때 달라질 수 있는 거야. 하지만 엄격한 좌표변환의 규칙을 따라야만 해. 왜냐하면 텐서란 좌표계에 무관한 객관적 실체를 나타내고 있기 때문이야.
텐서와 그 표현을 정확히 구분하는 것이 필요하지만, 우리는 텐서란, 스칼라, 벡터 이후에 표현 가능한 다차원적인 수의 배열 정도로만 알고 있어도 될 거 같아. 보통 기준을 고정해 놓는다면 텐서와 그 표현을 엄격하게 구분할 필요까지는 없으니까 말이지.