지난 영상에서 거리 텐서라는 이름으로 기하학적 공간에 거리를 잴 수 있는 방법을 소개하였습니다. 같은 공간이라도 거리 텐서가 다르다면 전혀 다른 성질을 갖는 기하의 세계가 될 수 있다는 이야기도 하였구요.
오늘 영상에서는 4차원 공간을 대상으로 이야기를 이어가 보겠습니다. 보통의 거리 텐서가 있겠죠? 유클리드적인 공간입니다. 새로운 방식으로 거리 텐서를 정해보겠습니다. 첫번째 좌표에 해당하는 부분에 -를 부여합니다. 하지만 사실 이것은 거리를 나타낸다고 볼 수는 없겠죠? 0의 값이나 음수의 값이 나올 수 있으니까요. 거리라고 하면 서로 같은 두 점 사이에서만 거리가 0이며, 서로 다른 두 점 사이에는 반드시 양수라고 할 수 있어야 하니까요!!
정확히는 거리 공간이라고 할 수는 없지만 이 방식으로 거리 텐서의 변종, 유사 거리텐서라고 할 수 있는 거리를 정해주면 특수상대성 이론을 이해하는데, 그러니까 우리가 살고 있는 우주를 이해하는데 아주 도움이 됩니다.
간단히 특수 상대성이론을 살펴보고 가겠습니다. 특수상대성 이론에서 서로 다른 관측자 사이에 좌표 변환이 어떻게 이루어 지는지에 대한 내용입니다. 이전 영상에서 소개한 적이 있어서 간단히 단계만 짚어보겠습니다.
두 가지 가정으로부터 시작합니다…..
이 과정에서 불변성이 생깁니다. 하지만 이론의 전개 과정에서 밝혀진 것은 아닙니다. 사실 가정에 이미 숨어 있었습니다. 그러니까 정확히는 빛의 속력이 일정하다는 가정이 있었고, 그 가정을 통해 불변성을 강제한 거죠. 로렌츠 불변량이라고 합니다. 유도 과정을 생각해 보면 빛의 속력은 일정하다를 적용한 부분, 즉 빛의 구면 방정식을 이용하는 과정에서 오로지 수학적인 항등식의 성질만을 사용합니다. 따라서 이 식을 변환하면 정확히 이 식이 됩니다. 되어야 합니다. 값이 변하지 않는 거죠!
이와 같은 불변량이 존재한다는 것은 무슨 의미가 있죠? 시간 좌표와 공간 좌표를 묶어서 하나의 사차원 좌표를 만들었을 때, 시공간적인 거리가 불변한다로 이해할 수 있습니다. 서로 다른 관찰자들 사이에는 어떤 두 사건이 시간적 간격으로 보면 다르다, 공간적 간격으로 보면 다르다 하겠지만 시공간적인 간격은 똑같다고 계산한다라는 뜻입니다.
저번 영상에서 텐서의 특성 중 하나가 좌표불변성이라고 소개한 바 있습니다. 그러니까 거리가 0 이상이다라는 성질을 과감히 버리고 이것을 하나의 거리텐서처럼 쓰도록 하겠습니다. 물론 저의 생각은 아니고요, 바로 민코프스키라는 한때는 아인슈타인의 스승이었던 사람의 생각입니다.
4차원을 만드는데 앞에서 했던 방식에 약간 수정을 보태보겠습니다. 물리적인 단위를 맞추기 위해서 시간에 빛의 속력 씨를 곱합니다. 그러면 모두 거리 단위로 맞춰지죠!
그리고 그것을 첫번째 위치로 옮기도록 하겠습니다.
이렇게 해 보면 로렌츠 변환식도 조금 달라지는데요, 오히려 대칭성이 명확해지죠? 두 변환식이 완전히 똑같아지면서 시간좌표와 공간좌표와의 차이가 사라지네요.
이러한 방식으로 만들어진 4차원 시공간 좌표계가 바로 민코프스키 시공간입니다.
상대성 이론의 대표적인 결론이 있죠? 바로 거리 수축과 시간 지연입니다. 민코프스키 시공간을 통해 증명해 보겠습니다!! 엑스 방향으로만 움직이는 상황을 생각하고 간단하게 엑스축과 시간축만을 나타내었습니다.
대칭이라고 하면 어떤 생각을 하시나요? 주로 기하학적인 대칭성을 생각하게 되죠. 선대칭, 점대칭, 회전대칭…
대칭 = 어떤 종류의 변화를 거쳐도 동일한 상태를 유지한다.
대칭성을 표현하기 위해서는 수학이, 수식이 사용됩니다. 그런데 수식적인 계산을 할 수 있다는 것과 대칭성을 실제로 이해한다는 것에는 차이가 있습니다. 그래서 어렵습니다.
간단한 예를 들어보겠습니다.
특수 상대성이론이 주장하는 대칭성을 이해하기 위해서는 결국은 시간이 흘러가면서 나타나고 사라지는 것이 아니라 그냥 그대로 실존한다는 것을 받아들여야 합니다. 어제의 나와 오늘 지금 이 순간의 나, 내일의 나가 사차원 시공간에 그대로 실존한다는 사실을요.
대칭성을 이해하기 위해서는 좀 더 많은 상상력이 필요하네요…