오늘은 원주율의 날입니다.
원주율 파이가 들어가 있는 식을 보여드리겠습니다.
라이프니쯔의 공식 알려드렸었죠?
오늘은 자연수의 제곱수, 그들의 역수의 합을 구해보겠습니다. 신기하게도 여기에 파이가 나타납니다.
자연수의 제곱의 역수의 합을 간단하게 표현할 수 있는가? 이 문제는 1650년에 처음 제기되었지만 누구도 풀지 못하다가 1734년 28살의 오일러를 단숨에 천재적인 수학자로 떠오르게 한 문제였습니다. 그래서 이 문제를 오일러의 출생지인 스위스의 도시 이름을 붙여 바젤 문제라고 한답니다.
어떻게 했을까요?
다음의 극한으로부터 오일러의 생각을 따라가 보겠습니다.
사인함수와 원점에서의 그 접선입니다. 사인 함수는 원점에서 일차인 인수를 갖고 있다고 할 수 있네요. 다른 근들도 마찬가지라고 생각할 수 있겠네요.
인수분해해 볼까요?
엑스,
여기에서 프라스 마이너스 파이에서의 근으로부터 나오는 인수를 곱하고,
아 그런데 원점에서 와이는 일 엑스라는 인수를 가져야 되니까 이렇게 하죠…
또 프라스 마이너스 2파이에서의 근으로부터 나오는 인수를 곱하고,
차례로 해 봅니다. 아, 다항식이 점점 사인함수로 수렴하는 게 보이네요.
그래서 사인함수는 이런 방식으로 인수분해된다고 추측할 수 있습니다.
이제 전개하고
사인 함수의 테일러 급수와 비교해 봅니다.
이렇게 정리되네요. 오일러의 접근법은 이런 방식이었습니다.
오늘은 이 바젤문제에 대한 기하학적인 풀이법을 소개하겠습니다. 이 방법을 소개하는 다른 영상들이 이미 있기 때문에 약간 각색하였습니다. 아주 약간만요.
종이 있습니다. 소리가 납니다. 1 만큼의 거리에서 정확히 1 만큼의 소리가 전해지는 종입니다.
들리는 소리의 크기와 거리 사이에는 제곱의 역비례 관계가 있죠? 그래서 거리가 2가 되면 전해지는 소리의 크기는 4분의 1이 되고, 거리가 알이 되면 전해지는 소리의 크기는 알제곱분의 1이 됩니다.
이제 바젤 문제는 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
무한히 긴 직선 상의 자연수 거리인 지점에 똑같은 종들을 두었을 때, 원점에서 들리는 전체 소리의 크기는 얼마인가?
원을 이용해 보겠습니다.
둘레의 길이가 1인 원이 있습니다. 이 원 위의 한 점에 종을 한 개 갖다 놓고 원 둘레를 기준으로 엑스만큼 떨어진 지점에 얼마 만큼의 소리가 들려오는지 계산하겠습니다.
단지 직선거리만 계산하면 되는 거죠?
이 크기 만큼의 소리가 들리겠군요~
이제 처음의 종을 다른 두 개의 종으로 바꿔치기 하겠습니다.
간단한 중학교 수준의 공식이 필요합니다. 역수의 피타고라스 정리입니다. 직각삼각형의 직각인 꼭지점에서 빗변에 내린 수선의 발을 내립니다. 넓이를 계산하고, 피타고라스 정리를 이용하니 역수에 관한 일종의 제곱 관계식이 얻어지네요.
이 것을 이용해 보겠습니다.
둘레의 길이가 2인 원을 그립니다.
원이 정확히 두 배 되었으니 큰 원의 중심은 작은 원 위에 있는 빨간색의 점입니다.
원의 성질을 이용하여 두 개의 직각을 찾을 수 있죠? 역수의 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다. 그러니까 처음의 종 한 개로 인한 소리의 크기는 두 개의 종으로 인한 소리의 크기와 같겠군요.
두 종은 정확히 지름을 이루는 위치에 있기 때문에 원 둘레 상으로 서로 1만큼 떨어져 있습니다.
아, 더구나 가까운 종과 관측 지점 사이의 거리는 여전히 엑스군요.
원 둘레를 다시 두 배합니다. 그리고 각각의 종들을 큰 원 상의 두 개 씩의 종, 총 네 개의 종으로 바꿔치기 합니다. 네 원은 모두 원 둘레상으로 정확히 1만큼씩 떨어져 있는 거 보이시나요. 그리고 가장 가까운 종과 관측 지점 사이의 거리는 여전히 엑스입니다.
둘레의 길이가 엔이고 엔 개의 종들로 늘어났습니다. 같은 방식으로 둘레의 길이가 이엔인 원을 그리고, 정확히 두 배하는 거죠. 또 종의 개수도 2엔개로 하여 관측 지점에 같은 크기의 소리가 들어오게 할 수 있습니다.
엔 개의 종들이 정엔각형의 위치에 있기 때문에 이엔개의 종들은 정확히 정이엔각형의 위치에 놓이게 됩니다.
종의 개수는 늘어나지만 관측 지점에 들려오는 소리의 크기는 처음 하나의 종에서 나온 소리의 크기와 완전히 똑같은 거죠.
무한히 늘려갑니다. 어떻게 되나요?
원 위쪽 부분에 있는 종들은 거리가 무한히 멀어지니까 결국 기여도가 0이 되며 원 아래 쪽 부분에 있는 종들은 수 직선상에 일정한 간격으로 배열되네요.
다음 공식이 얻어집니다.
신기하죠?
자연수에 대한 식인데 사인함수가 등장하고 파이가 등장합니다.
엑스에 2분의 1을 넣고 정리합니다. 홀수들만 있네요. 짝수들은 어떻게 하나요? 거꾸로 생각합니다.
합 = 1/1^2+1/2^2+…
= 1/1^2+1/3^2+…(1/2^2+1/4^2+…)
= 파이^2/8+1/4 합
합 = 파이^2/6
이제 완성되었습니다. …
하지만 아직 완전하지는 않습니다.
악마는 세부사항 속에 있다라는 서양 격언도 있쟎아요….
오차가 과연 줄어들 수 있는지를 정확히 평가해 보겠습니다.
둘레의 길이가 2엔인 원에서 위쪽 부분의 엔 개의 종들을 제거합니다. 그로 인해서 얼마 만큼의 오차가 생기죠?
거리는 모두 반지름보다 훨씬 더 떨어져 있죠?
따라서 오차는 크지 않습니다.
나머지 엔 개의 종을 가지고 두 개씩으로 늘립니다. 그리고 먼 쪽의 엔 개의 종들을 제거합니다. 얼마나 오차가 생기죠?
반지름이 두 배로 늘었으니 새로운 오차의 값이 처음 오차의 4분의 1보다 많게 줄어듭니다.
차례차례 해 보니 결국 엔 개의 종들만 남겨 놓고 무한히 계속해 간다면 어떻게 될까요?
가까운 엔 개의 종들은 정확히 수 직선상의 점들로 움직이구요.
오차는 계속 늘어나기는 하지만 기껏해야 이 정도의 오차가 생기겠군요…..
엔을 크게 할수록 오차는 0으로 줄어듭니다. 악마를 세부사항 밖으로 밀어낼 수 있었네요.
이제 안심하고 무한의 화음을 들어보세요. 들리시나요? 이것이 바로 무한의 화음입니다.