저번 영상에서 파스칼의 삼각형과 이항 전개에 대해서 이야기하였습니다.
에이 더하기 비의 엔제곱을 전개해 보았었죠.
처음의 에이 엔 제곱항부터 차례차례 구하면 마지막에 비 엔제곱이 계수가 1로 얻어지면서 끝납니다. 그 다음부터의 계수를 같은 규칙을 구해보면 0이 나오기 때문이죠.
그런데 뉴턴의 과감한 시도는 어땠나요? 끝나지 않습니다. 끝없이 계속되는군요.
계속 나타나는 항들을 대략 계산해 볼까요? 분자는 대략 분모인 엔 팩토리얼보다는 작습니다. 부호까지 생각한다 해도 프라스 마이너스 1 범위를 넘어서지는 못하겠군요. 그래서 뉴튼의 전개식에서 아주 뒤의 항들은 대략적으로 등비급수의 항들보다 더 작은 값들을 가지면서 변해갑니다. 엑스가 작은 수라면 그 합은 충분히 수렴할 수 있습니다.
뉴턴의 시도는 충분히 합리화될 수 있다는 뜻이군요.
오늘은 이 이야기를 이어서 해보겠습니다. 오늘의 주제는 테일러 급수입니다.
관심은 이겁니다. 함수가 하나 있습니다. 이 함수를 알고 싶습니다. 정보가 있어야겠죠?
어느 한 지점에서 함수에 대한 정보가 있습니다. 그런데 미분에 대한 정보입니다. 함숫값, 한번 미분한 도함수의 값, 또 다시 미분한 이계도함수의 값, 세 번 미분한 도함수의 값,….
정보는 완벽히 주어져 있다고 생각해 봅니다. 계속해서 미분한 값들이 무한히 주어져 있다고 생각해 보는 거죠.
그렇다면 이 정보를 이용해서 처음의 주어진 함수를 만들어 낼 수 있을까요?
먼저 함수를 만들어내기 위한 기초적인 함수들이 있어야 하겠네요. 다항식을 선택합니다. 모두 주어진 지점 엑스는 에이를 하나의 기점으로 하는 다항식들을 생각합니다. 상수함수, 일차함수 엑스 마이너스 에이, 이차함수 엑스 마이너스 에이의 제곱,…
1 정보를 집어넣자.
그럼 여기에서 정보를 짜맞추어 봅니다.
먼저 상수함수. 엑스는 에이에서 정보가 맞아야 하니 에프 에이를 선택합니다. 기본적인 상수 함수인 와이는 1에 상수배를 했다고 생각할 수 있습니다.
하지만 도함수에 대한 정보는 맞을 수 없겠군요.
개선해 봅니다.
일차함수를 이용하면 어떻죠? 이렇게 생각하면 상수함수 부분의 계수를 먼저 정할 수 있겠고, 미분을 하여 일차함수 부분의 계수를 정할 수 있습니다.
친숙한 접선의 방정식이네요.
더 개선해 봅니다.
이차함수를 이용합니다. 이차함수 부분만 추가했다고 생각하면 되는군요. 미분하고 미분하여 이계도함수에 대한 정보를 맞춥니다.
세 번 미분한 정보, 네 번 미분한 정보를 차례로 맞춰 볼 수 있습니다.
아, 이렇게 추측이 되는군요.
간단한 정보를 주면서 어떤 함수가 만들어지는지 보겠습니다. 간단히 하기 위해서 기준점을 엑스는 0으로 하고 정보를 1,1,1,1,1,…로 줘보겠습니다.
그럼 이와 같이 표현되는 지수 함수가 되겠네요.
0,1,0,-1,0,1,0,-1,…과 같이 정보를 주어볼까요? 놀랍게도 삼각함수 중 하나인 사인함수의 그래프로 수렴하는 듯 보이네요.
2. 과연 수렴할까?
두 번째로 해결해야 할 문제가 있습니다. 함숫값, 즉 0번 미분한 값부터 단계별로 도함수값이 정해졌을 때, 앞에서의 방식으로 만든 오름차순의 무한한 급수는 과연 수렴할 것인지에 대한 문제입니다.
앞서의 간단한 예들은 모두 수렴하는 듯 보였는데요, 왜 그럴까요?
엔 계승, 즉 엔 팩토리알이라고 하는 계산식의 결과가 아주 빠르게 증가하기 때문입니다. 웬만한 등비수열보다 증가속도가 훨씬 빠르답니다.
지수함수나 삼각함수는 엔계 도함수의 값들이 별반 변하지는 않거나 등비수열처럼 변해 갑니다.
오히려 유리지수 함수들이 문제네요. 엔계 도함수 값들이 거의 엔 계승정도로 커져갔었죠? 그래서 수렴하는 엑스의 범위가 확 줄어들게 됩니다.
결국 엔계 도함수의 값으로 주려는 정보가 얼마나 빠르게 증가하느냐가 문제군요.
엔계 도함수의 값이 팩토리알에 비해서 작게 증가하면 문제가 없다. 너무 빨리 증가할 때가 문제다….
다행히 우리가 보통 접하는 함수들은 크게 문제가 될 것 같지는 않습니다.
3. 수렴한다면 어디로 수렴하는 걸까? 과연 에프엑스가 될 수 있을까?
마지막으로 중요한 문제가 남아 있습니다. 과연 수렴한다면 어디로 수렴하는 걸까?의 문제입니다. 과연 에프 엑스로 수렴할 것인가입니다.
처음에 정보를 함수 에프 엑스로부터 주었기 때문에 당연히 함수 에프엑스로 수렴해야 하나요?
그러니까 다른 말로 바꾸어 보면 이렇습니다. 단지 한 점에서의 모든 정보가 전체 범위에서의 함수를 완벽히 결정한다고 볼 수 있을까요?
우선 함수 에프 엑스로부터 만들어낸 다항 함수들은 원래의 함수로부터 특정 방식으로 유도된 함수인 점은 확실합니다. 처음에 주어진 함수가 다항함수가 아니었다면 절대 일치할 수가 없겠죠?
이제 함수 에프 엑스와 그로부터 만들어낸 다항 함수와의 차이, 즉 오차를 구해보겠습니다.
보통 이 다항식을 엔차의 테일러 다항식이라고 불리는데 다음과 같은 방법으로 오차를 구해 볼 수 있습니다.
먼저 상수 이의 값을 이렇게 정합니다. 즉, 엑스는 비에서의 실제 함수값과 테일러 다항식에서의 값 사이의 차이, 이게 오차인데요, 그 오차를 하얀색의 값으로 나누어 보았습니다.
함수를 새로 하나 만들었습니다. 기준점 에이 근처의 값 엑스는 비를 하나 정하고 함수 쥐엑스를 만들어 보았습니다. 함숫값을 구해 볼 수 있는데, 비에서는 당연히 0이고 에이에서도… 0이네요. 평균값 정리를 쓸 수 있습니다.
미분을 해보니 지워지고 지워지고 간단하게 정리됩니다.
따라서 오차는 이렇게 표현됩니다. 엔계 도함수의 값이 등장하네요. 결국 오차를 포함한 함수식을 이렇게 만들수 있네요.
역시 문제는 엔계 도함수값의 증가속도입니다. 차례로 미분해 보았을 때, 엔계 도함수의 값이 어떻게 변해가느냐가 오차를 평가하는데 있어서 핵심입니다.
3-1
증가속도가 엔의 계승과 비교하여 느리거나 같은 정도라면 충분히 수렴할 수 있습니다. 에이 값 근처에서 말이죠.
다항함수, 유리지수 함수, 삼각함수, 지수 로그 함수 등의 함수가 말 잘 듣는 함수에 해당합니다.
3-2
만약 엔 계승보다 더 빠르게 증가하는 함수가 있다면 오차를 적절히 제어할 수가 없게 됩니다.
그런 함수가 과연 있을까요? 이렇게 만들 수 있습니다.
엑스는 0이하에서는 상수 0인 함수, 엑스는 0초과에서는 e^-1/x인 함수입니다.
그림을 보면 다음과 같습니다.
이 함수는 상수함수가 아니지만 엑스는 0에서의 미분계수가 모두 0입니다. 몇 번 미분을 하던가 말이죠. 그러니까 반대로 말하면 엑스는 0에서의 모든 미분계수가 0이지만 상수함수가 아니라는 거죠.
미분을 차례로 해봅니다. 손으로 하면 조금 힘들지만 컴퓨터의 도움을 받으니 쉽게 할 수 있네요.
미분할수록 그 값이 빠르게 변해갑니다. 엔의 계승조차 따라가기가 힘듭니다.
그래서 다음과 같은 함수가 가능합니다.
상수함수일까요? 아닙니다. 갑자기 뭔가가 튀어나옵니다. 하지만 완벽히 미분가능한 함수입니다.
엑스는 0에서의 정보를 0020000….로 주었습니다.
만들어 볼까요?
와이는 엑스제곱이네요.
이것 뿐일까요? 이 함수도 가능합니다. 이차함수처럼 잘 나가다가 갑자기 이상한 행동을 합니다.
만약 엑스축을 시간의 흐름이라고 생각하고 물체의 운동을 표현하는 그래프였다면 어떻게 생각할 수 있나요? 티는 0초에서 정확한 정보를 주었다고 해 보죠?
그러면 물체의 미래의 움직임은 확실히 결정되나요? 절대 불가능합니다. 아무리 정확한 정보를 주더라도 말이죠. 그 정보를 가지고는 어느 순간에 갑작스런 움직임이 나타나지 않는다고 보장할 수 없습니다.
아무래도 양자역학이 옳은가 봐요…