저번 영상에서 데카르트의 좌표평면 이야기를 하였습니다. 이제 드디어 새로운 시대가 열리고 있네요. 바로 미적분의 세계입니다. 미분 개념보다는 적분 개념이 먼저입니다. 오래전부터 있었습니다. 곡선으로 둘러싸인 넓이, 곡면으로 둘러싸인 부피를 구하는 문제가 이미 관심의 대상이었습니다. 오차를 처리할 수 있는 방법들에 대한 고민도 많이 있었구요.
고대 그리스의 생각을 뛰어넘는 새로운 방법은 카발리에리에게서 시작합니다. 카발리에리는 데카르트와 완전 같은 시기의 수학자입니다. 조금 늦게 태어나 조금 일찍 세상을 떠났네요.
더 이상 나눌 수 없는 양, 불가분량이라는 개념을 들고 나왔습니다. 카발리에리는 아르키메데스가 발견한 구의 부피 공식을 재증명하는 과정에서 면적은 무한히 많은 평행한 선분으로, 부피는 무한히 많은 평행한 면적으로 구성된다는 생각을 발전시켰습니다. 이것들이 각각 면적과 부피에 대한 불가분량이 된다라고 주장하였는데요, 이것을 카발리에리의 원리라고 합니다. 사실 갈릴레이의 많은 도움이 있었습니다. 이제 그 생각을 따라가 보겠습니다.
삼각형이 있습니다. 넓이는 잘 알고 있죠. 삼각형과 그 삼각형을 둘러싸는 사각형을 그립니다. 직선을 긋고, 폭이 아주 좁은 사각형으로 생각합니다. 불가분량입니다. 그러면 삼각형에서의 불가분량과 사각형에서의 불가분량의 비, 즉 가느다란 선분 사이의 넓이의 비가 길이의 비와 같습니다.
삼각형을 얇은, 폭이 아주 좁은, 거의 선분과 같은 도형의 결합이라고 생각하면, 전체 넓이의 비는 이렇습니다. 만약 0부터 시작하였다면 정확히 1/2, 아주 바람직한 결과가 얻어지는군요. 카발리에리의 접근법이 아주 엉뚱하지는 않은 거죠?
이제 이차함수가 있습니다. 예전의 수학자들에게는 포물선이라는 표현이 친숙하겠죠? 가로축과 둘러 싸인 넓이를 구해 볼까요?
그래서 등분합니다. 포물선을 둘러싸는 직사각형을 그립니다. 선을 그려놓고 넓이를 비교합니다. 그러니까 엔등분한다고 생각하고 높이를 세우면 케이제곱대 엔제곱이 되네요. 따라서 전체넓이와 포물선 아래의 넓이의 비는
제곱의 합 : 엔제곱의 합
으로 표현됩니다.
그렇다면 제곱의 합을 어떻게 구할 것인가가 문제가 되네요. 누가 했을까요? 아랍의 수학자 이븐 알하이삼입니다. 구해볼까요?
자연수 1부터 엔까지의 합은 간단한 그림으로 구해집니다. 알하이삼이 구한 방식이네요. 수학 천재 가우스의 유명한 일화로 잘 알려진 식이 이미 알하이삼의 연구로 나오고 있네요. 결과를 정리하면 1부터 엔까지의 자연수의 합은 이차식으로 나오고 이차항의 계수는 1/2, 일차항의 계수 역시 1/2입니다.
자연수 1의 제곱부터 엔의 제곱까지의 합을 구해볼까요? 역시 알하이삼의 그림입니다. 녹색 직사각형들의 세로 길이는 1인데요, 맨 위의 녹색 직사각형의 가로의 길이가 1부터 엔까지의 합입니다.
잘 알고 있는 공식이죠? 제곱의 합은 삼차식으로 나오고 삼차항의 계수는 1/3, 이차항의 계수는 1/2네요. 일차항도 있긴 하구요.
그러니까 포물선, 아니 이차함수 와이는 엑스제곱과 엑스 축으로 둘러싸인 넓이는 이렇게 예측됩니다. 포물선으로 둘러싸인 넓이는 사각형의 넓이의 1/3이 되는 거군요. 아 뒤에 꼬리가 남는다구요. 등분의 수를 늘려 엔을 크게 할수록 그 오차는 줄어들게 되지 않을까요? 오차에 대한 회의적인 시각과 일부 강력한 비판도 있었지만 결국은 모두가 받아들였습니다.
이제 한 발 더 나아가서 자연수 1의 세제곱부터 엔의 세제곱까지의 합을 구해볼까요? 알하이삼의 그림을 또 이용합니다. 녹색 직사각형들의 세로 길이가 역시 모두 1이라서 전체 사각형의 세로의 길이는 엔 더하기 1입니다. 가로의 길이는 1제곱부터 엔제곱까지의 합이네요. 결과는 잘 예측되시죠? 그래서 와이는 엑스 세제곱과 엑스 축으로 둘러싸인 넓이는 전체 직사각형의 넓이의 1/4라고 할 수 있네요.
카발리에리가 멋진 생각을 떠올렸고, 당대의 수학자, 과학자들 특히 뉴튼이 바로 이 과정을 따라갔습니다.
뉴턴은 네제곱들의 합, 다섯제곱들의 합에 대한 공식을 추론하고 다음과 같은 일반적인 적분공식을 추론하였습니다. 고등학교 과정에서 배웠던 바로 그 공식이죠.
그리고 자신만의 원주율 공식을 하나 완성하였답니다.
원을 그립니다. 방정식을 구할까요?
뉴턴 그 자신이 만들어낸 일반적인 이항정리 있죠? 여기에 적용합니다.
0부터 1/2까지의 적분을 해볼까요? 넓이로 계산하면 되니까 파이/12+8분의 루트3이군요.
좌변을 적분하면 어떻죠? 대입하고 정리합니다.
이것이 바로 뉴턴이 만든 원주율에 대한 공식입니다. 라이프니츠도 원주율 공식을 만들었었죠? 하지만 뉴턴의 방법으로 만든 급수의 수렴 속도가 훨씬 빠르답니다.