오늘은 다소 엉뚱하게 암흑물질에 대한 이야기를 해 보겠습니다. 지난 영상에서 만유인력의 크기가 역제곱의 법칙에 따른다는 증명을 소개하였습니다. 만유인력에 대한 이야기를 이어서 해보려고 하는데, 아마도 오늘의 이야기는 역사에서 시작하여 증명으로 이어지고 소설로 끝날 듯 합니다.
과연 뉴턴의 만유인력의 법칙은 완벽할까?가 주제입니다. 일반상대성이론을 잘 알고 계실 듯하니 역제곱의 법칙은 이미 다 유효기간이 지나간 이야기지? 뉴턴의 법칙은 일반상대성이론의 근사에 지나지 않아?라고 생각하실 겁니다.
하지만 저희 영상에서는, 관점을 조금 달리하여, 관련된 여러 가지 생각의 주제들을 제시하려고 합니다. 단지 그 결론만을 이야기하고 싶지는 않습니다.
지난 영상에서 이야기한 바 있습니다. 뉴턴은 중세의 연금술과 마법이 횡행하던 시기에 근대과학의 새로운 방법과 기본적인 틀을 완성해 버렸다고..
근대 과학의 기본틀은 무엇인가요? 바로 유클리드의 원론적 사고입니다. 몇 가지의 기본 원칙을 가지고 동일한 원리로 모든 현상을 설명하려는 사고 방식입니다.
뉴턴은 코페르니쿠스, 갈릴레이, 페르마, 데카르트, 케플러로부터 몇 가지 기본 원칙들과 중요한 현상들을 추출하였고, 기본 원칙으로 중요 현상들을 증명함으로써 법칙으로 만들었습니다.
뉴턴은 타원 궤도 뿐만 아니라 포물선 궤도, 쌍곡선 궤도에서의 중력의 역제곱 법칙을 증명하였고 , 또 조화의 법칙 자체도 증명합니다.
조화의 법칙은 무엇인가요? 행성이 태양 주위를 공전할 때, 공전주기 티와 공전 반지름, 정확히는 긴 반지름인데, 알 사이에는 다음과 같은 비례관계가 있다는 겁니다.
아직 오늘의 이야기는 소설로 들어가지 않았기 때문에 조화의 법칙을 증명해 보겠습니다. 간단히 등속원운동의 경우만을 생각하겠습니다.
정확히 원을 그리는 경우입니다. 한 바퀴 도는데 걸리는 시간이 티, 주기입니다. 반지름 알이라 할 때 일정한 속력은 무엇이죠? 한바퀴의 길이를 티로 나누면 되니 속력 브이는 이렇습니다.
이때 가속도는 어떻게 되나요? 속도는 접선방향입니다. 그런데 물체가 한 바퀴 돌 때 속도, 속력에 방향까지 고려한 양도 한 바퀴 돌죠? 속도의 속도가 바로 가속도라 할 수 있으니 원의 반지름으로부터 속도의 크기, 속력을 구하듯이 속도 원의 반지름으로부터 가속도의 크기를 구할 수 있군요.
행성의 운동에 이것들을 결합해 봅니다.
뉴턴의 운동법칙 F=ma에서 시작하여, 역제곱의 법칙을 만족하는 만유인력을 대입하고요, 가속도는 방금 구한 식을 대입합니다. 여기서 대문자 엠은 태양의 질량을 나타내기 때문에 행성들의 질량과는 관계없이 상수가 됩니다. 티 제곱은 알의 세제곱에 비례하는군요. 바로 조화의 법칙입니다.
이렇게 쓸 수도 있습니다. 공전 속도와 반지름과의 관계입니다. 공전속도는 거리의 제곱근에 반비례하는군요. 그래서 이러한 관계를 따르는 천체의 회전 운동을 케플러 회전이라고 합니다.
| 행성 | 태양으로부터 평균 거리 (백만 km) | 공전 속도 (km/s) | 거리 × 공전속도의 제곱 (백만 km × km²/s²) |
|---|---|---|---|
| 수성 | 57.91 | 47.87 | 132,234.45 |
| 금성 | 108.2 | 35.02 | 132,576.76 |
| 지구 | 149.6 | 29.78 | 132,665.93 |
| 화성 | 227.9 | 24.07 | 132,396.18 |
| 목성 | 778.5 | 13.07 | 132,926.87 |
| 토성 | 1,433.5 | 9.69 | 132,220.77 |
| 천왕성 | 2,872.5 | 6.81 | 133,162.88 |
| 해왕성 | 4,495.1 | 5.43 | 132,776.86 |
뉴턴은 1676년 로버트 훅에게 보낸 편지에서
내가 다른 사람보다 더 멀리 내다볼 수 있다면 그것은 바로 거인의 어깨 위에 서 있었기 때문이다.If I have seen farther, it is by standing on the shoulders of Giants.
라고 쓰고 있긴 한데 만약 케플러의 연구가 없었다면 과연 만유인력은 발견될 수 있었을까요?
이제 시각을 넓혀 우주적으로 가보겠습니다. 태양계에서는 태양을 중심으로 해서 행성들이 각각 거의 등속원운동을 하고 있다면 은하에서는 은하의 핵이라고 할 수 있는 은하의 중심을 그 중심으로 해서 원운동해야 합니다.
그런데 말입니다…
1932년, 네덜란드의 천문학자 얀 오르트가 Jan Hendrik Oort
태양계 주변의 별들의 공전속도를 측정한 결과, 은하 중심의 질량으로부터 계산한 예상속도에 비해 너무 빨리 움직인다는 의문을 제기하였습니다.
처음엔 측정의 잘못으로 판명되었지만,
1950년대 후반에 이루어진 정밀한 측정들에서 역시 이런 문제가 나타났습니다. 점차 한 군데서 아니라 많은 은하들에서 똑같이 너무 빨리 회전하는 현상이 발견되어 갔구요…
케플러의 면적-속도 일정의 법칙, 조화의 법칙이 만유인력의 발견에 결정적인 기여를 했다면 이 법칙에 따르지 않는 현상의 등장은 어떻게 해석해야 할까요?
문제는 정확히 다음과 같습니다. 은하에 있는 어떤 별이 만유인력의 법칙을 따라 케플러 회전을 한다면 은하의 질량 엠에 대해서 이와 같은 속도를 가지고 공전해야 합니다. 그런데 실제로 측정해 보니 예상치와 실제값 사이에 큰 차이가 존재함이 밝혀졌습니다. 예를 들면 엠 33은하에서 은하 중심에서 2만 광년 떨어진 지점을 봅니다. 얼추보기에도 속도가 2배 정도 차이가 나는군요. 그렇다면 관측가능한 천체의 질량보다 세배의 질량이 어디엔가 더 있어야 한다는 뜻입니다. 정확히는 자신의 공전 궤도 안에 있는 모든 천체의 질량에 의해서 그 공전 속도가 결정됩니다. 4만 광년 정도에서는 측정 속도가 예상속도의 세 배 정도이니 실제 관측 가능한 천체의 질량은 실제 질량의 10분의 1 정도라는 뜻입니다.
도대체 어디에 숨겨진 질량이 있을까요?
빛을 내지 않으니 전자기적으로는 알 수 없는 이 물질들을 바로 암흑물질이라고 합니다.
현재 물리학의 표준 이론은 암흑물질의 존재를 가정하고 있습니다. 왜냐하면 뉴턴의 중력법칙의 완성형이라고 할 수 있는 일반상대성이론이 광범위한 우주 규모에서 확인되었기 때문입니다. 일반상대성이론을 통해 우주의 역사를 예측한 결과가 실제 관측 데이터와 잘 일치하고 있습니다.
그러나 보이지도 관측할 수도 없는 미지의 존재를 믿어야 하나요? 새로운 시도도 있습니다. 바로 수정뉴턴역학입니다.
오늘은 간단히 수정뉴턴역학의 초보적인 생각을 한 가지 직접 만들어 보면서 영상을 마무리하겠습니다.
물리학의 표준이론은 한 마디로 이 식은 맞는데 질량 엠이 적게 측정된 것 뿐이다. 따라서 숨겨진 질량을 찾자입니다.
한편 수정뉴턴역학은 암흑물질 없이 뉴턴 역학에 위배되는 천체 현상을 설명하려는 이론입니다. 1983년 뉴턴역학이 거대한 거리에서는 위배될 수 있다고 생각한 이스라엘의 물리학자 모데하이 밀그롬에서 시작되었는데, 뉴턴 역학에 위배되는 중력 현상을 만유인력의 법칙에 대한 수정을 통해 설명하면서 수정 뉴턴 역학이라는 이름이 붙었네요.
제가 만들 수정뉴턴역학은 중력파가 퍼져나가는 모양은 질량의 분포에 의존한다는 생각에 기초합니다. 예를 들어 태양계입니다. 절대적인 질량이 태양에 집중되어 있습니다. 그러니까 태양계에서는 태양으로부터의 거리가 같으면 만유인력의 크기도 같으며, 거리의 제곱에 반비례하여 감소합니다. 행성들의 질량은 무시할 만 하니까 태양 하나만 있다고 생각할 수 있고, 당연히 구 대칭성을 갖고 있어야 할테니까요. 하지만 은하는 어떻죠? 우리 은하의 구조입니다. 막대나선은하인데,
중앙의 볼록한 부분인 팽대부의 질량과 회전하는 판 부분의 질량은 극단적으로 차이가 나지는 않습니다. 연구자들에 따라서 차이가 있지만 보통 팽대부는 태양 100~200억개 질량, 파란색 회전판 부분은 태양 200~300억개 질량, 즉 대략 1대2정도로 추정되고 있습니다.
태양계처럼 무시할 만한 정도는 절대 아니고 오히려 원반면에 더 많은 질량이 존재하는군요.
중앙 팽대부의 전체 질량을 엠중이라하고 회전판 부분은 무수히 많은 고리들이 겹쳐져 있다고 생각하면서 각각의 고리의 질량은 일정하다고 봅니다. 즉 은하중심에서의 거리에 따라 항성에 의한 질량밀도가 정확히 거리에 반비례한다고 생각하는 건데요, 그렇다면 중심에서 거리알까지의 고리들의 총질량은 씨_고리 알 꼴입니다.
만유인력의 크기는 질량분포의 기하하적인 모양에 따라 결정된다고 생각하여 만유인력의 방향과 수직인 점들을 연결하면 타원이라고 가정하겠습니다. 구가 아니라 타원이라고 생각하자는 생각인데, 물론 3차원의 타원체라고 생각해야겠죠?
간단히 계산해 볼까요?
별이 있습니다. 만유인력의 크기는 어떨까요? 타원체가 있고, 타원체 안에 총질량이 이 별에 만유인력에 영향을 끼칩니다.
만유인력의 크기는 어떻게 계산할까요? 바로 이 지점에서 타원의 곡률을 이용합니다. 긴 반지름을 에이라 하면 당연히 알이고, 짧은 반지름을 비라 하면 곡률로부터 계산한 구의 반지름이 나옵니다.
그러니까 이 지점에서 만유인력을 보자면 마치 전체 질량이 여기에 모여 있는 것처럼 만유인력의 크기가 계산될 수 있음이 제 생각입니다. 그런데 별의 가속도는 실제 은하중심과의 거리를 통해 계산해야 하니까 식을 이렇게 만들 수 있고, 만약 이 값이 일정하다면 별의 공전속도도 은하중심과의 거리에 상관없이 일정하게 되니까
긴 반지름과 짧은 반지름 사이에 이러한 관계를 만족하도록 타원을 만들었다면 암흑물질의 존재없이도 은하의 회전곡선을 설명할 수 있는 거네요.
뉴턴 수정 역학에 다양한 관점에서의 시도들이 있긴 하지만 전반적으로는 암흑물질이 인정되고 있는 분위기입니다. 참고로 우리은하의 질량의 90%가 암흑물질이며, 암흑물질들은 우리은하의 외곽 껍질 부분이라고 할 수 있는 헤일로 부분에 훨씬 더 많이 존재한다고 추측된다네요. 우리은하의 반지름을 대략 5만광년이라고 하면 은하 중심에서 10만 광년 넘는 곳에 우리 은하 질량의 대부분이 모여있다는 주장이네요.