플라톤이 말했습니다. 신은 영원히 기하학(적 원리로 일을) 한다라고….
뉴턴은 기하학과는 다른 새로운 수학을 창조했습니다. 미적분학이죠. 분명히 뉴턴은 미적분학을 사용하여 그의 작업을 확인해 보았을 것입니다. 하지만 그의 책 제목은 자연쳘학의 수학적 원리입니다. 그 수학이 바로 기하학이구요.
뉴턴의 대표적인 만유인력의 법칙 있죠? 그 법칙의 증명에 역시 기하학이 이용되었습니다. 미적분학이 아닙니다. 완전히 새로운 방법이긴 하지만 아직은 기초가 튼튼하지 못했던 해석학에 비해서 아마도 완벽한 기초를 갖고 있는 기하학에 자신의 이론을 탄탄하게 세워 놓고 싶은 생각이었으리라 추측합니다.
오늘 영상에서는 바로 그 증명을 따라가 보겠습니다. 인류 역사에서 아주 중요한 증명들을 꼽는다면 몇 손가락 안에 꼽힐 수 있는 증명이기에 깊이 들어가 자세히 살펴봄도 나름대로 큰 값어치가 있으리라 생각합니다.
먼저 기초적인 물리 이론입니다.
우선 갈릴레이의 생각입니다.
갈릴레이로부터 가져올 첫 번째 생각은 물체는 외력이 작용하지 않는 한 일정한 빠르기와 방향으로 운동한다, 한 마디로 관성 운동이라는 생각입니다. 두 번째의 생각은 가속 운동에 대한 이론입니다. 그래프로 간단히 설명할께요. 등가속도 직선운동입니다. 속도가 시간에 따라 증가하고, 이동거리는 다시 넓이로 구할 수 있으니 시간의 제곱에 비례하네요.
여기에 뉴턴이 중요한 한 가지 자신의 생각을 덧붙였습니다. F=ma. 뉴턴의 운동 제2법칙이죠. 즉 가속도의 원인이 힘이며, 가속도는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다는 뜻입니다.
다음으로 천문학자 케플러의 관찰입니다. 태양계 행성들의 운동을 정리한 케플러의 세 법칙 중 두 가지가 필요합니다.
첫번째 타원궤도의 법칙, 두번째 면적속도 일정의 법칙입니다.
사실 첫번째 법칙부터 범상치 않습니다. 중세의 유럽 사람들의 지식에 절대적인 영향을 끼치고 있던 그리스의 철학자가 있습니다. 아리스토텔레스입니다. 아리스토텔레스는 물체의 운동을 지상의 운동과 천상의 운동으로 구분하였습니다. 지상의 운동은 뭔가 불완전하지만 천상의 운동은 완벽하다고 아리스토텔레스는 주장하였습니다. 그렇기에 천상에서 운동하는 행성들은 완벽한 운동, 완전한 원운동을 하여야만 했습니다. 그런데 찌그러진 원운동이라뇨?
갈릴레이의 관성운동의 개념도 우리에겐 당연하지만 당시의 사람들에겐 당연하지 않았습니다. 역시 아리스토텔레스의 생각하고는 다른 생각이었습니다. 아리스토텔레스는 그의 저서 자연학(Physics)에서 물체의 운동이 외부의 힘에 의해 유지된다고 보았습니다. 까칠한 면에서 일정한 빠르기로 움직이는 물체를 계속 그렇게 움직이게 하려면 힘을 주어 밀어야 하잖아요?
우리에게는 상식이지만 당시의 사람들에게는 당시의 상식이었던 아리스토텔레스의 권위에 도전해야 했었기 때문에 새로운 생각과 증명을 받아들이기는 더욱 더 힘들었습니다. 뉴턴도 만유인력이라는 원격적인 힘의 존재를 인정함으로써 반아리스토텔레스 진영에 섰습니다. 아리스토텔레스는 힘은 반드시 물리적 접촉을 통해 전달된다고 주장했거든요.
그렇게 보면 현대의 우리는 훨씬 더 유리한 입장에 있음은 확실합니다. 상식에 도전하지 않아도 되니까요. 하지만 일반인인 우리가, 비록 몇 백 년 전이지만, 천재의 생각을 따라가기는 여전히 쉽지 않습니다. 단단히 안전띠부터 매고 출발하시죠?
타원의 한 초점 위치에 태양이 있고, 행성이 타원궤도를 공전하고 있습니다. 무엇 때문에 타원 궤도를 그릴까요? 어떤 힘, 원격 작용의 미지의 힘이 존재하고 있기 때문입니다. 만약 어떤 힘이 존재하지 않는다면 관성에 의해서 이렇게 접선 방향으로 직선 운동을 합니다. 그런데 바로 그 어떤 힘 때문에 이만큼 떨어지는 가속운동을 한 상황입니다. 정확히 태양 방향으로 힘을 받으니까 평행사변형을 그렸습니다. 한편 그 동안의 시간, 아주 짧은 시간이겠죠?, 을 델타티라고 하겠습니다.
낙하거리 = 1/2 가속도 델타t^2.로 계산되겠네요. 가속도=어떤 힘/행성의 질량이겠구요. 여기에서 시간을 제거합니다. 바로 면적속도 일정의 법칙을 사용합니다. 시간을 제거하면 이제 남은 모든 관계식은 완벽히 기히학이 됩니다.
이제 어떤 힘은 이렇게 정리가 되는군요.
QR/QT^2 이 비율이 어떻게 되는지 보겠습니다. 쉽지 않은 이유가 있습니다. 선분 QT의 길이가 무한소의 일차항으로 표현될 때 선분 QR의 길이는 무한소의 이차항으로 표현되기 때문입니다. 무한소의 이차항은 원래 무시하지 않나요? 라는 물음이 떠오르시겠지만 제곱이 있어서 가능한 상황이네요. 등속 원운동의 경우를 보겠습니다. 뉴턴 자신의 일반적인 이항정리를 적용하여 보면 아주 작은 거리 엑스만큼 움직였을 때 낙하하는 거리는 엑스의 제곱, 즉 무한소의 이차항으로 표현되는군요. 그 결과 QR/QT^2 의 값은 1 / 2r 이 얻어집니다.
QR/QT^2을 차례로 바꾸어 보겠습니다.
평행사변형이니까 QR=Px 바로 바꾸어 놓구요.
QR/QT^2 = Px/QT^2
평형사변형의 한 변 Px을 연장하여 타원의 중심과 연결한 선과 만나는 점을 v라 합니다.
Px/QT^2 = Pv/QT^2 Px/Pv
잠깐 타원의 접선의 성질을 보겠습니다. 타원은 어쨌거나 찌그러진 원이죠? 정확히 타원을 둘러싼 원, 반지름을 a라 하겠습니다, 그 원을 높이 방향으로 축소하면 타원이 됩니다. 타원의 긴 반지름을 a, 짧은 반지름을 b라고 하겠습니다. 높이 방향으로 에이 분의 비 배 하면 타원인데 접선은 어떻게 되나요? 원과 접선을 같이 축소하면 원은 타원이 되고, 직선은 직선인데 만나는 점의 개수가 변하지 않으니 여전히 접선이네요.
원의 접선은 수직이 핵심 성질입니다. 접선에 평행한 지름을 생각합니다. 축소합니다. 여전히 접선에 평행하겠죠? 타원의 접선은 각의 이등분선입니다. 다른 초점과 연결하는 선을 이등분합니다. 수직한 선을 그리면 역시 각을 이등분하게 되어
다른 초점에서 평행선을 그리면 길이가 같습니다. 그런데 타원의 성질, 두 초점에 이르는 거리의 합이 일정하다, 로부터 원점을 지나는 평행선과 만나는 점을 E라 하면 선분 PE의 길이는 일정한 거리의 합의 절반, 즉 긴반지름 에이가 되는군요.
Px/Pv = PE/PC = a/PC입니다.
Px/QT^2 = Pv/QT^2 Px/Pv = Pv/QT^2 a/PC
=Pv/Qv^2 Qv^2/QT^2 a/PC
다시 원의 성질입니다. 원이라면 Pv:Qv=Qv:Gv. Qv^2=PvGv.죠?
이걸 그대로 내리면 여전히 성립하긴 힘들겠죠? 길이가 줄어드는 비율이 서로 다릅니다. 큰 원의 반지름인 a로 나눕니다.
Pv/a:Qv/a=Qv/a:Gv/a.
Pv/CP:Qv/CD=Qv/CD:Gv/CP.
이것을 이렇게 바꿔치기 합니다.
길이의 비율들에 대한 등식입니다.
내립니다. 평행선의 성질 때문에 길이의 비는 바뀌지 않아서 타원에서도 여전히 성립합니다.
Qv/CD^2=Pv/CP Gv/CP
Pv/Qv2 = CP/CD^2 CP/Gv
극한을 생각하니 CP/2CD^2입니다.
Px/QT^2 = Pv/Qv^2 Qv^2/QT^2 a/PC = CP/2CD^2 Qv^2/QT^2 a/PC
그 다음입니다. Px/QT^2 = CP/2CD^2 Qv^2/QT^2 a/PC = CP/2CD^2 Qv^2/Qx^2 Qx^2/QT^2 a/PC
그런데 Qv/Qx 는 무한소량과 무한소량을 비교하는 극한이네요. 그런데 평행사변형을 그렸을 때 일차의 무한소량과 이차의 무한소량, 즉 무한소량의 제곱을 비교하는 상황이라고 했었죠?
그렇다면 각도가 정해진 이 삼각형을 이용하면 XV의 길이도 무한소량의 이차항이어서 비율의 값은 1로 수렴합니다.
드디어 마지막입니다. 여기에는 간단히 닮음을 쓸 수 있네요. QX/QT = PE/PF = a/PF
대입합니다.
CD PF 값은 삼각형 PCD의 넓이로부터 알 수 있습니다. 원으로부터 생각하고 카발리에리의 원리를 쓰죠. 높이 방향으로 모든 길이가 에이분의 비 배 되니까 전체 넓이도 에이분의 비 배, 즉 상수입니다.
결국 모두 상수값이 되어 단 하나가 남게 되네요. 바로 이 힘, 뉴턴 이후의 인류가 만유인력이라고 부르게 될 힘은 곧 거리의 제곱에 반비례하는 성질을 갖고 있습니다.
너무 어렵다구요?
설마 아직도 떨어지는 사과를 보고 만유인력의 법칙을 발견했다는 사실을 믿고 계신 건 아니죠? 지표면 근처에서는 중력이 일정하기 때문에 거리의 제곱에 반비례한다는 성질을 얻어 낼 수가 없답니다.
뉴턴이 떨어지는 사과에서 영감을 얻은 건 아니었지만 어쨌든 사과 이야기는 뉴턴으로부터 직접 등장합니다. 1726년, 뉴턴은 사과 일화를 윌리엄 스터클리라는 사람에게 들려주었고, 스터클리는 이를 1752년에 출판된 전기 “아이작 뉴턴 경의 인생 회고록”에 포함시켰습니다. 스터클리가 옮기는 이야기입니다. “저녁 식사 후 날씨가 따뜻해져서 우리는 정원으로 가서 사과나무 그늘 아래에서 술을 마셨습니다… 명상에 잠긴 기분으로 앉아 있는데, 마침 사과가 떨어지는 것을 보면서 예전에 중력이라는 개념이 나 자신의 마음에 떠올랐을 때와 똑같이 느껴졌습니다.”
어쨌든 천재의 생각을 따라가기는 쉽지 않죠? 어떤 과학 역사가가 말했습니다. 뉴턴은 중세의 연금술과 마법이 횡행하던 시기에 근대과학의 새로운 방법과 기본적인 틀을 완성해 버렸다고..
뉴턴을 찬양하는 헌사를 작성한 동료 과학자 알렉산더 포프(Alexander Pope)는 뉴턴의 묘비문“Newton’s Epitaph”에서 그의 업적을 기리며 말하고 있습니다:
“Nature and Nature’s laws lay hid in night;
God said, ‘Let Newton be!’ and all was light.
자연과 자연의 법칙은 어둠 속에 감추어져 있었으나, 신께서 말씀하시길 ‘뉴턴이 있으라!’ 하시니 모든 것이 밝아졌다.