이상한 함수 만들기 악마의 계단
실수 집합에서 간단한 함수 몇 개 만들어보겠습니다.
아, 그런데 이러한 함수들, 경우에 따라서는 기괴하게 보일 수도 있는데요, 이러한 반직관적인 함수를 만드는 이유에 대해서 오해는 하지 마세요. 수학자들이 괜히 심술궂어서 만들어내지는 않습니다. 논리의 정확성을 위해서 만들어 보는 것이구요, 혹시 지금까지의 생각들은 어떤 드러나지 않은 가정에 기초하는 상황은 아니었는지, 그렇다면 그 가정은 무엇인지를 검토해 보는 차원에서 만들고, 만들어지고 있답니다.
첫번째 디리클레 함수 Dirichlet입니다.
유리수 =1, 무리수 = 0인 함수… 어느 점에서건 연속할 수 없죠. 간단하지만 이 함수는 적분이 불가능한 함수랍니다. 정확하게는 가로축, 즉 엑스축을 자르는 방식으로는 적분이 불가능합니다. 최소와 최대의 간격을 절대 좁힐 수 없습니다.
새로운 적분 개념이 등장하는 계기였습니다.
두 번째는 토메의 함수Thomae입니다.
유리수는 기약분수로 나타낸 다음에 1/q, 무리수=0인 함수…
희한하게 유리수에서는 불연속, 무리수에서는 연속입니다.
연속성을 검토해 볼까요?
유리수인 지점에서는 함수값이 0이 아닌데, 아무리 가까이 해도 근처에 무리수 점이 있어서 함수값이 0이고 이 이상 가까워지지는 않습니다.
무리수인 점에서도 마찬가지일까요?
그렇지 않습니다. 무리수인 지점에 충분히 다가가면 분모가 작은 유리수들은 차례로 제거됩니다. 따라서 분모가 큰 유리수들만 남게 되면서 함수값들은 차츰차츰 0으로 모여갑니다. 무리수인 점들에서는 연속이네요.
놀랍죠?
하지만 연속인 지점들에서 미분까지는 되지 않습니다.
세 번째는 오늘의 주인공 칸토르의 함수 Cantor입니다.
예전 영상에서 칸토르의 집합을 만들어 보았었는데요, 처음 만든 사람은 칸토르가 아니었지만 유명인 칸토르가 언급하면서 칸토르의 집합이 되었다고 소개했었죠.
만드는 방법은 길이를 차례로 3등분하는 방법이었습니다.
칸토르의 함수는 실수 전체에서 연속이며 증가합니다.
칸토르의 함수는 다음과 같은 성질들을 가지고 있습니다.
그런데 놀라운 성질이 있습니다. 모든 점에서 미분가능하지는 않습니다만, 미분할 수 있는 모든 점에서는 미분한 값이 0입니다. 분명 증가함수인데 말이죠….
신기하죠. 0에서 1까지 증가하고 있음에도 미분가능한 어느 곳에서도 미분계수의 값은 0입니다. 모든 점에서 연속이지만 미분가능한 모든 점에서는 도함수 값이 0인 함수들을 특이함수라고 부릅니다. 칸토르 함수는 특이함수의 대표적인 보기죠.
칸토르 함수의 성질을 이용하여 그래프를 그려 볼 수도 있는데, 오늘은 쉬운 방법으로 접근하여 그려보겠습니다.
3등분하고요, 중간으로 올립니다. 나머지 부분은 사선으로 연결할께요.
다시 3등분하고요, 각각의 중간으로 올립니다. 그리고 사선으로 연결하고요.
마찬가지로 3등분하고 각각의 중간으로 올립니다. 또 사선으로 연결하고요.
이렇게 칸토르의 함수를 그려볼 수 있네요.
놀랄 성질이 하나 더 남아 있습니다. 칸토르 함수의 길이, 그래프의 길이를 구해볼까요?
그 길이는 2??? 그러니까 칸토르 함수를 따라서 움직이나 이렇게 꺽은 선을 따라 움직이나 같은 거리를 움직이게 되네요. 그래서 연속함수이지만 아주 자그마한 계단들로 이루어진 함수랍니다. 악마의 계단이라 불리는 이유입니다.
왜 그럴까요?
아니 뭔가 순수한 수학자의 창작물에 자극적인 이름을 붙이고 있는 행위가 뭔가 마음에 들지 않으신다구요? 그냥 비뚤어진 수학자들의 머릿속에서 만들어진 비뚤어진 논리의 결과물들은 그냥 그대로 수학자들의 세계에 내버려 둘까요?
상상할 수 있는 모든 것이 등장하는 양자역학에서는 딱히 그렇지도 않습니다.
고전 전기역학에 홀효과라는 현상이 있습니다. 도체가 자기장 속에 놓여있을 때 그 자기장에 직각 방향으로 전류가 흐르면, 자기장과 전류 모두에 수직인 방향으로 전위차(홀 전압)가 발생하는 현상입니다. 양자역학적으로도 홀효과를 관측할 수 있는데, 강력한 외부 자기장에 의해서 전자의 움직임이 양자화됩니다. 양자역학적 홀 효과입니다. 정수값만을 갖는 현상이 먼저 발견되어 정수 양자 홀 효과라고 이름 붙여졌습니다.
그런데 더 나아가 전자들이 거의 완벽한 2차원 평면 상에서 움직일 때 분수로 표현되는 전기 전도도를 갖는 현상이 발견되었습니다. 분수 양자 홀 효과입니다.
분수 양자 홀 효과에 대한 그래프가 바로 악마의 계단이네요…
양자역학은 아무래도 악마의 학문인가 봐요!…