바이어슈트라스 함수
저번 영상에 이어 이상한 함수들을 다루어 보겠습니다.
연속인 함수는 미분가능할까? 미분이 불가능하다면 미분이 안되는 지점들은 대체 얼마 정도일까? 어느 정도의 지점들을 제외하면 미분되어야 하지 않을까?
대수학자 가우스도 그 정도는 당연하겠지…라는 생각을 했었는데요, 오늘 영상에서는 모든 점에서 미분 불가능한 함수를 직접 만들어 보겠습니다. 처음 만든 사람의 이름을 따서 바이어슈트라스 함수라 불립니다.
기본 핵심은 무한히 진동하도록 하는 것입니다. 처음 이런 생각을 했던 사람은 바이어슈트라스가 아닙니다. 그에 앞섰던 수학자 중에 리만도 있군요. 하지만 정확한 증명은 제시하지 못했습니다.
삼각함수를 이용하는데 점점 주기가 짧아지게 하여 진동이 빠르게 일어나도록 합니다.
이것을 흉내내면서 모든 점에서 미분 불가능한 함수를 직접 만들어 보겠습니다.
먼저 이렇게 만들어 볼까요? 엑스는 0에서 수렴의 문제가 생기는군요. 앞에 점점 작아지는 등비수열을 곱해 보겠습니다.
연속할까요?
무한에서 유한으로 내려오고, 유한에서의 연속성을 사용합니다. 그리고 다시 무한으로 올라가는 거죠.
이번에는 미분해 볼까요? 먼저 미분의 성질입니다. 어떤 한 점에서 미분가능하다고 생각합니다. 그러면 그 점으로 다가갈수록 함수의 그래프는 수렴하는 두 기울기 사이에 갇혀있게 됩니다. 특히 왼쪽에서 한 점, 오른쪽에서 한 점을 잡아 연결하였을 때의 기울기 역시 수렴하는 두 기울기 사이의 값이 됩니다. 점점 접선의 기울기로 수렴해야만 하죠.
엑스 제로 지점에서 미분가능하다고 생각합니다. 그리고 다음과 같은 수열을 잡습니다. 그러니까 각각의 엔에 대해서 비의 엔제곱 엑스 제로를 계산하고 그 값의 좌우로 정수값을 찾습니다. 엘과 엘 더하기 1이 되도록 하는 거죠. 그 정수들을 이용하여 수열, 알파엔과 베타엔을 잡습니다. 알파엔은 왼쪽에서 엑스 제로에 수렴하는 수열이 되고, 베타엔은 오른쪽에서 엑스 제로에 수렴하는 수열이 됩니다. 이제 각각의 엔에 대해서 기울기를 구합니다.
엔이 엠일 때의 기울기는 어떻게 될까요?
그 값을 추정하기 위해서 무한 급수를 두 부분을 나누도록 하죠.
엠 빼기 일까지의 부분과 엠부터 무한대까지의 부분으로요. 먼저 앞 부분을 보면 … 이 기울기를 계산해야 하는데, 잠시 그래프를 먼저 볼까요? 이 그래프에서 접선의 기울기가 가장 급한 부분은 이 부분과 이 부분입니다. 그래프에서 두 점을 잡아 기울기를 구했을 때, 가장 급한 기울기 값을 넘을 수는 없습니다. 그러니까 이 부분에서의 기울기를 구해 보면 그 값을 한정지울 수 있는데요, 여기에서는 기울기가 +-1, 이 그래프에서는 +-파이…, 미분을 하면 간단히 확인 가능합니다. 바로 싸인 함수, 코싸인 함수 속에 들어있는 계수네요.
그렇다면 여기에서의 기울기는 바로 +-비엠파이입니다.
따라서 모두 더하면 최대 이만큼입니다. 모두 최대값, 혹은 최솟값 만을 가진다고 해도 그 절대값은 이걸 넘어설 수는 없죠?
모순을 얻는 것이 목적이니 에이비의 값을 1보다 크도록 하겠습니다.
한편 뒷 부분은 어떤가요? 먼저 제 엠항에서 보면 이 값은 엘 정수죠? 그러니까 파이의 정수배이고 코사인 값을 구하는 상황입니다. 이 값은 바로 다음 정수인 엘 더하기 1 이라는 정수구요. 코사인의 값이 각각 +1,-1 아니면 -1, +1입니다. 그 다음 엠 더하기 1에서는 어떻죠? 비엠 알파엠에 비를 곱하는 것이니까 여전히 정수입니다. 파이의 정수배이며 비엠+1 베타엠도 마찬가지 입니다. 여기서 비를 홀수인 정수로 정하기로 하죠? 그렇다면 코사인 값들은 전혀 변하지 않게 됩니다. 그래서 이 기울기의 값은 2비엠, 또는 -2비엠이 됩니다. 변하지 않기 때문에 이렇게 계산할 수 있습니다. +2라고 생각한다면요.
이제 이 두 값을 비교해 보겠습니다. 이 부분은 적어도 2이니 이 값을 2보다 작게 한다면 평균 변화율의 값은 최소 에이비의 엠제곱에 양의 상수를 곱한 값보다 크거나, 최대 음의 상수를 곱한 값보다 작아지게 됩니다. 그렇기 때문에 평균변화율의 값은, 엠이 커질수록, 양의 무한대로 커지거나 음의 무한대로 작아집니다. 유한확정의 값이 나올 수가 없죠. 모순이 생기는 거네요. 어떤 점에서건 미분이 가능할 수 없다는 뜻입니다.
너무 복잡하다고요?
조금 간단하게 만들어 볼 수도 있습니다. 일본인 수학자 타카기가 만든 함수입니다. 타카기가 쓴 짧은 논문은 매우 해석적입니다. 그래프에 대한 내용은 눈에 씻고 봐도 없어요. 나중에 그래프를 이용한 해설이 등장하였는데 블랑망제 곡선입니다.
간단합니다. 이런 꺽은 선 그래프를 이용합니다. 역시 무한급수로 이용합니다….
점점 작게 하여 더해갑니다. 몇 단계 그려볼까요?
첫 단계에서는 물론 기울기가 +1,-1 밖에 없습니다. 여기에 다음 단계를 더한 그래프를 보면 기울기는 2,0,-2 정확히 짝수만 등장하네요. 그 다음으로는 홀수만 등장하고요. 단계 별로 기울기들이 짝수와 홀수를 왔다갔다 하는군요.
연속성에 대한 이야기는 바이어슈투라스 함수에서와 같기 때문에 생략하고, 미분가능성을 보겠습니다. 역시 어느 점에서 미분가능하다고 가정하고
앞에서와 마찬가지로 수열을 구성합니다. 이제 엠 단계서의 기울기를 보도록 하죠. 어떤 정수겠죠? 바로 엠 더하기 1 단계에서의 기울기와 비교해 보겠습니다. 그런데 엠 단계에 대해서 엠 더하기 1 단계는 이 부분을 이등분하는 겁니다…..
결국 자기 유사성이 있기 때문입니다. 점점 작아지면서 동일한 변동이 무한히 반복되도록 하는 함수들은 무언가 곤란한 성질들을 갖습니다. 아무리 확대하더라도, 그러니까 아무리 한 지점에서 다가가더라도 직선적인 상황은 나타나지 않습니다. 역시 변동하고 또 변동하는 자기유사성적인 변동 양상이 무한히 계속될 뿐이랍니다.