탄소는 다재다능합니다. 탄소를 소재로 하여 수학에 대한 이야기를 이어가 보겠습니다.
역시 시작은 또다시 오일러입니다. 아직 오일러의 이야기를 벗어나지 못했습니다. 오일러는 러시아에서 연구와 강의를 하고 있었던 1735년 이 문제를 해결하였습니다. 쾨니히스베르그라는 현재는 러시아의 영토에 있는 도시지만 역사적으로는 오랜동안 프로이센의 수도였던 도시입니다. 오일러와 동시대의 위대한 철학자 칸트가 있죠. 칸트는 바로 이 도시에서 나고 자랐고, 평생 100마일 이상 벗어나지 않았습니다.
분명히 칸트도 이 문제를 익히 들었음직 한데요. 바로 쾨니히스 베르크의 다리 문제입니다. 일곱개의 다리를 정확히 한 번씩 건너서 처음 자리로 돌아올 수 있겠느냐라는 문제입니다. 당시 시민들의 관심거리였습니다. 오일러가 문제의 본질을 정확히 찾아내었고, 불가능함을 밝혔습니다.
그래프 이론의 시작으로 볼 수 있는 첫 증명이지만 오늘 영상에서는 위상수학의 발전과 연관해서 살펴보겠습니다. 오일러의 또 다른 재기 넘치는 증명이 있죠? 바로 위상수학의 시작이 되는 증명입니다.
바로 이 오일러 지표를 이용해서 풀러렌을 계산해 보겠습니다. 오각형과 육각형으로만 이루어진 풀러렌입니다.
오각형은 반드시 12개군요. 이제 차례로 만들어 보겠습니다. 육각형이 0개일 때는 잘 알고 계실 정십이면체의 구조구요, 육각형 한 개인 경우를 만들어보겠습니다. 아… 이 경우는 결국 육각형이 하나 더 필요한 구조군요. 그래서 씨22는 불가능합니다. 아… 오각형과 육각형 만을 사용한다면 말이죠. 사각형을 하나 사용하면 만들 수 있습니다.
육각형 세 개인 경우는 이렇습니다. 이렇게 차례로 육각형을 늘려가면서 꼭짓점이 짝수 개인, 그러니까 풀러렌으로 말하자면, 탄소가 짝수 개인 풀러렌들을 만들 수 있는데 갯수를 늘려갈수록 오각형과 육각형 만을 사용하는 풀러렌이라 해도 구조가 다른 풀러렌들을 만들 수 있습니다. 화학에서는 이성질체라고 하죠.
보통 화학자가 아닌 일반인 기준으로 할때, 풀러렌이라고 하면, 씨60 그 중에서도 가장 대칭성이 있고 안정한 축구공 표면 구조의 풀러렌을 떠올리는데 이를 버크민스터 풀러렌이라고 한답니다.