정십칠각형의 작도 과정, 정확히는 작도 가능성에 대한 증명 과정에서 중요한 역할을 하는 것은 무엇이죠?
이차방정식의 연결, 연쇄를 통해서 16차 방정식을 풀 수 있다는 주장이죠?
정오각형, 오차방정식의 풀이는 쉽죠? 그냥 두세 번 해보면 됩니다. 상반방정식이라고 해서 풀어보기도 했었습니다.
16개의 수들을 어떻게 나누어야 하죠? 경우가 너무나 많네요. 가우스는 타고난 천재라서 너무 쉬웠을까요?
이미 가우스는 다음과 같은 나머지 집합에서의 중요한 성질을 발견한 상태입니다.
이를 원시근이라 합니다. 원시근이란 거듭제곱을 하였을 때 0을 제외한 모든 나머지를 만들어낼 수 있는 나머지 수입니다.
덧셈을 기준으로 하면 나머지 군은 1을 이용하여, 그러니까 1을 계속해서 더해가서 모든 나머지를 만들 수 있습니다. 이를 순환군이라고 하죠. 신기하게도 곱셈 역시 마찬가지입니다. 소수로 만든 나머지 군은 하나의 원시근을 계속해서 곱해가면서 모든 나머지가 만들어지기에 곱셈 기준으로도 순환군이 됩니다.
증명은 역시 가우스가 하였습니다.
정257각형도 작도가능함을 보일 수 있겠죠? 가장 작은 원시근 역시 3입니다.