지난 영상에서 네번째의 대칭군 에스 4를 소개했었습니다. 네 개의 원소로 이루어진 모든 일대일 대응들의 집합입니다. 이제 이 집합을 기하학적으로 구현해 볼께요. 정확히 네 개의 동일한 성질을 갖는 등가물들이 포함된 기하학적 대상을 찾아야겠죠?
정육면체가 있습니다. 네 개의 대각선을 갖고 있으니까요!!
정육면체 대각선 이용하여 회전 대칭군이 정확히 S_4임이 확실하네요.
오늘 영상에서는 수학에서, 특히 대수학에서 중요한 군 개념을 간단히 소개해 보겠습니다.
집합이 있습니다. 단순히 어떤 대상들의 모임입니다.
대상들의 단순한 모임을 벗어나고 싶다면 어떻게 하는 게 좋을까요? 어떤 수학적 구조를 줘야 합니다. 간단한 방법이 있습니다. 바로 대상들 사이에서 뭔가의 계산을 할 수 있도록 합니다. 연산이라고 하죠. 수학이니까 사칙연산이라고 부를 수 있는 계산을 하기도 하지만 뭔가 복잡하거나 아니면 새롭다고 해도 상관없습니다. 함수들 사이라면 합성이 대표적입니다.
만약 어떤 집합에서의 대상들, 원소들과 그들 사이의 연산이 다음과 같은 성질을 만족한다면 이 집합을 군이라 합니다. 군이라는 용어는 갈르와가 처음 사용했습니다. 자신의 천재적인 직관을 설명하기 위해서 창조했습니다.
각각의 성질을 자세히 살펴본다면
닫혀있다가 있구요, 집합의 임의의 두 대상을 이용해 계산할 수 있고, 그 결과는 집합의 또 어떤 대상이다… 뭔가 필수적인 성질이겠죠?
그 다음으로 결합법칙이 있네요. 연산을 연속적으로 할 수 있다라는 성질이 필요하기 때문입니다. 항등원과 역원이라고 부르는 성질이 있는데요, 일반적인 연산의 입장에서 보자면 소거의 성질이라고 할 수 있답니다. 특히 유한집합이라면 같은 뜻을 가집니다.
소거가 가능하다.는 성질의 뜻은 무엇일까요? -> 주어진 연산을 주어진 집합의 대상들을 서로 대응시키는 함수로 생각하였을 때 일대일 대응의 성질을 갖는다.는 해석이 가능하고 핵심적입니다.
유한 집합에서는 좌측, 우측에서 소거 가능하다는 것이 항등원, 역원의 존재를 말하는 것과 같다.
직접 해보면요…..
이런 성질들은 왜 필요할까요?
수학적으로 본다면 방정식을 풀기 위한 최소한의 성질들입니다.
대수학을 넘어서서 일반적인 관점에서 보자면 군 개념은 대칭성을 수학화, 대수화한 개념입니다.
대칭성에 대한 이야기-점대칭, 선대칭, 면대칭
대칭이라 해도 여러가지 대칭이 있을 수 있다.
-삼각형이 가진 대칭성과 사각형이 가진 대칭성이 다르다.
이러한 것을 표현할 수 있는 방법은 무엇인가?
정삼각형이 가진 대칭성은 결국 1 2 3 세 개의 꼭짓점을 일대일 대응시키는 함수들=치환이라고 했었던 세 원소 사이의 전체 순열군, 즉 에스 삼과 같네요.
정사각형이 가진 대칭성은 정이면체군, 네 번째의 정이면체군 디 사입니다.
정삼각형/정사각형의 대칭군과 방정식(=갈르와 군) 사이의 연관성
-이러한 대칭성을 찾아내고 서로 다른 대칭성들을 비교해 보는 일, 순수하게 기하학적인 생각들로 보이죠? 그런데 그러한 대칭성이 단지 기하학적인 상황에 그치지는 않습니다. 갈르와의 천재적인 직관에 의하면 바로 이러한 대칭성의 발견이 삼차 방정식을 푸는 과정에 정확히 대응합니다.
사차방정식에서도 마찬가지죠?
일반적인 사차방정식을 푸는 과정은 네번째 대칭군인 에스 4를 분해하는 과정과 같습니다. 정육면체를 이리저리 돌려보는 것이 바로 일반적인 사차방정식을 푸는 과정이네요.