*82*르벡의 새로운 관점에서의 적분을 소개한 적이 있었습니다. 과연 모든 집합은 그 길이를 잴 수 있을까요? *오늘 영상에서는 길이를 잴 수 없는 집합을 만들어 보겠습니다.
/리만이 완성한 전통적인 적분의 개념이 있었죠? /전통적인 적분은 엑스축, 즉 밑변을 먼저 자릅니다. * 밑변을 자르고 난 다음에 그 밑변에 해당하는 높이를 정합니다. 결국 직사각형을 만들고 그들의 넓이를 합하는 건데, *방향은 이렇죠?
/르벡은 새로운 관점에서 적분을 시도하였습니다. /와이축을 먼저 잘랐습니다. *높이를 먼저 정하고 그에 해당하는 엑스 축의 구간들, 집합들을 찾아 그 길이를 구했습니다.
*밑변 곱하기 높이가 아니라 높이 곱하기 밑변의 방향을 택한 거죠. 단순한 거 같지만 새롭게 적분할 수 있는 함수들이 생겼습니다. 실수 집합이 아니더라도 적분 개념을 적용할 수 있게 되었구요. 적분의 범위가 아주 넓어졌습니다.
/집합의 길이는 측도라고 부르는데, /뮤라는 기호를 써서 르베그 적분은 이렇게 표시할 수 있네요. /집합의 길이는 어떻게 재는게 좋을까요?/일반적으로 어떤 실수의 집합이 있을 때, /그 집합을 완전히 덮을 수 있는 구간들을 찾아내고 *그 구간들의 길이 하나하나를 더하여 집합의 길이, 그 중에서도 물론 최소한으로 덮을 수 있는 길이의 합을 집합의 측도로 합니다.
/집합의 길이, 즉 측도에 대해서 우리가 당연히 기대하는 성질이 있죠? *먼저 평행이동의 성질입니다. 한 집합의 측도와 그 집합을 평행이동한 집합의 측도는 당연히 같아야 하겠죠? /서로 공통이 없는 두 집합의 합집합의 측도는 각각의 측도의 합과 같다.는 성질도 당연히 있어야겠죠? /물론 무한인 경우, 자연수만큼 무한인 경우에도 마찬가지입니다.
/그런데 모든 실수의 집합, 임의의 실수의 집합은 그 길이를 잴 수 있을까요? 그러니까 측도를 정할 수 있을까요?
놀랍게도 불가능한 집합이 있습니다. 이제부터 만들어볼건데, 핵심을 단순히 말하자면 0부터 1까지의 실수 집합을 서로 동일한 무한개의 집합으로 분해해 보는 겁니다.
/먼저 실수 전체 집합에서 유리수를 셉니다. /큐 제로라고 하겠습니다. 그다음에 / 유리수가 아닌 실수, 예를 들어 무리수 루트2를 각각의 유리수에 더하여 집합을 만듭니다. 서로소인 새로운 집합이 얻어집니다. 큐-루트2라고 하겠습니다. 실수는 셀 수 없이 많으니까 / 계속해 나갈 수 있겠죠 그러니까 이미 만들어 놓은 집합 어디에도 없는 새로운 무리수를 이용하여 유리수만큼 많은 수를 원소로 갖는 집합을 차례로 만들어갑니다. 집합들을 만들어 가는데 큰 어려움은 없는거죠?
이런 방식으로 무수히 많은 집합들을 만들 수 있습니다.
어느 정도의 무한만큼 있나요?
우선 각각의 집합에는 유리수의 갯수만큼, 무한집합의 원소의 갯수를 농도라고 표현한다고 했으니, 유리수집합의 농도만큼 있습니다.
그런데 실수집합의 농도는 유리수집합의 농도보다 큽니다. 유리수 집합은 셀 수 있는 무한이고, 실수 집합은 셀 수 없는 무한입니다. 그러니까 Q_무엇으로 표현할 수 있는 집합들의 수, 집합들의 농도는 셀 수 없을 만큼 많이 있는 거죠?
이제 다음 단계로 각각의 Q_무엇 집합에서 대표를 하나씩 뽑겠습니다. 특히나 0부터 1까지에서의 범위에 속하는 수를 대표로 뽑는데 각각의 집합에서 첫번째로 0부터 1 범위에 존재하는 수를 뽑겠습니다. 뽑는 규칙도 확실하죠? / 이렇게 뽑았습니다. /이 집합을 처음 만든 수학자의 이름을 따서 비탈리 집합이라고 하겠습니다.
과연 이 집합은 측도가 있을까요? 다시 말해 그 길이를 잴 수 있을까요?
/깔끔한 증명을 위해서 다시 한 번 유리수를 세는데 이번에는 -1과 1에서의 유리수를 세어 놓겠습니다./첫번째의 유리수는 0이라고 해도 되겠죠? 첫번째 집합 브이 일은 비탈리 집합 자체입니다. /이제 엔번째의 유리수에 대해서 그 유리수를 비탈리 집합 각 원소에 더한 수를 원소로 하는 집합을 브이 엔으로 정합니다. 집합을 만들어가는 것에 별 어려움은 없는 거죠?
다음 단계입니다. /이들의 합집합을 만듭니다. 닫힌 구간 0, 1을 완벽히 포함하고 있네요.왜 그렇죠? / 0과 1 범위의 임의의 실수를 하나 생각합니다. /그러면 그 실수는 맨 처음에 만들었던 큐-무엇 중의 하나에 속하고 있었겠죠? 모든 실수는 큐-무엇 중의 하나에 반드시 속해야 했으니까요. 그리고 그 집합의 대표가 비탈리 집합에 있답니다./\이정도에 있다고 하면 둘의 차이는 유리수인데 최대 -1에서 +1이군요. 그래서 어떤 브이-엔에 속해 있답니다.//결국 브이엔들의 합집합은 닫힌 구간 0,1을 완벽히 포함하면서 -1부터 2사이의 실수를 가지고 있을 수 있는 거네요./길이를 조사해보니 이렇습니다. *그런데 각각의 항들은 비탈리 집합의 평행이동에 대한 측도, 즉 모든 항이 상수입니다. 무한 개 상수항의 합이 특정 값을 가질 수가 있나요? /아주 곤란한 상황이네요
여러분은 여기에서 논리의 함정을 찾을 수 있으신가요? 제가 약간의 속임수를 넣은 부분도 있기는 하지만 수학의 근본적인 문제가 숨어 있답니다. 그렇다면 /이 문제는 측도이론의 문제인가요?/아니면 실수 집합 자체, 실수 이론 자체의 문제인가요? /아니면 집합을 구성하는 과정에서 무엇인가 고도의 조작이 들어 있었던 것일까요? 이 모든 문제는 결국 칸토어가 수학에 무한을 끌어들이면서 나타난 현상의 하나랍니다. 과연 악마는 수학 안에 이미 깊숙히 들어온 상황이 맞죠?
*82*다음 영상에서 이어가 보겠습니다.